高级宏观经济学（三）：世代交叠模型

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本文导读目录：

1、高级宏观经济学（三）：世代交叠模型

2、高级宏观笔记02：2-世代交叠-Diamond

3、高级宏观经济学-世代交叠模型

　　高级宏观经济学（三）：世代交叠模型商羽：高级宏观经济学（三）：OLG模型 - 基本模型推导 　　对Diamond模型的评述： 　　（1）与Solow模型相比，Diamond模型有如下两个优点：一是具有坚实的微观基础；二是储蓄率取决于跨期消费决策，从而不再是外生的。 　　（2）与RCK模型的长生不老不同，Diamond模型假设世代交叠，这一微小差别产生了十分重要的结果：一是存在出现多个k*的可能性；二是完全相同经济体由于初始条件的不同可能收敛到不同的平衡增长路径。 　　（3）与Solow模型和RCK模型类似，在Diamond模型中，劳动效率A的增长仍是人均产出持续增长的唯一源泉。 　　（4）Diamond模型的经济跨期结构设定导致了动态无效率的可能性。 　　（5）Diamond模型没有改变劳动效率（A）外生的假设。　　Mr Figurant：高级宏观11：世代交叠模型 　　上篇已经对Ramsey模型进行了介绍，现在本文转向讨论Diamond模型。两个模型的差异在于：Ramsey模型：数量固定的永久性生存的家庭Diamond模型：存在人口的新老交替 　　效用函数是为了平衡增长所需要： ， ， （1）：年轻的个人在时期的消费：年老的个人在时期的消费：贴现率：决定家庭将消费在不同期间转移的意愿 　　由于生命是有限的，不再像Ramsey模型一样假设， 以确保终生效用不再发散。：个人给第一时期的权数大于第二时期：个人给第一时期的权数小于第二时期 　　假设，确保第二个消费时期的权数为正。 　　在时刻出生的个人的第二期消费： （2） 　　得到预算约束： （3）：技术：年轻人的劳动收入：真实利率 　　终生消费的现值等于其初始财富（零）加上终生劳动收入的现值。 现在需要根据预算约束最大化效用函数，可以用欧拉方程法和拉格朗日函数法。这里仅介绍拉格朗日函数法。 　　将预算约束整理为： （4） 　　则拉格朗日函数为： （5） 　　分别对和求偏导，可以得到二者的一阶条件： （6） （7） 　　联立一阶条件（6）（7）可得： （8） 　　整理得： （9） 　　条件（9）与预算约束（3）刻画了效用最大化行为。二者联立得： （10） 　　利率决定第一个时期的单个消费者的收入份额。设表示收入被储蓄的部分，（10）可得到： （11）当且仅当 关于递增，年轻人的储蓄才会关于递增而 关于的导数是 若：关于递增（替代效应占优）若：关于递减（收入效应占优）若：与不相关（两个效应平衡） 　　的上升具有收入与替代双重效应：替代效应：两个时期消费之间的替代对第二时期的消费有利，→ 储蓄 ↑ 收入效应：既定的储蓄量将会带来第二时期的更大消费，→ 储蓄 ↓ 　　对于两个效应的占优情形：替代效应占优：很低，个人十分乐于在两个时期进行消费替代以利用报酬率激励收入效应占优：很高，个人对两个时期内的相似消费水平有强有力的偏好 　　最后，联立（10）（11）可以得到： （12）【中财考博真题-2012-Q6+7】（求解最优解、证明跨期替代弹性为） 　　设想某个人只活两期，效用函数为（1）式去掉后的表达。令和分别表示消费品在这两期中的价格， 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是。 已知，求使此人效用最大化的和 证明效用函数为（1）时，和之间的替代弹性为 ① ② 　　由②可得约束条件： ③ 　　联立①③得到： ④ 　　对求一阶条件，并化简可得： ⑤ 　　联立③⑤，并化简可得： ⑥ 　　联立⑤⑥，并化简可得： ⑦ 　　⑥和⑦即为使此人效用最大化的和 　　由⑤可得： ⑧ 　　将⑧两边取对数可得： ⑨ 　　因此对求偏导可得： ⑩ 　　即证。 　　当时，收入中被储蓄的部分等于，这种情形称为对数效用，或效用函数为对数函数。 　　柯布-道格拉斯的生产函数为，其每单位有效劳动可以表达为： （※）k的动态学、贴现率下降的效应 　　除了原点外，是的唯一均衡水平，全局稳定。每当开始时，总会它收敛于。【中财考博真题-2018-Q8】 　　现在，设戴蒙德模型中的效用函数为对数函数， 生产函数为柯布-道格拉斯函数，接下来讨论某些因素改变对于 函数的影响。 　　① 若上升，则会导致 下降：n上升对k*的影响 　　因为每单位有效劳动的要素收入为 ，不依赖于劳动的增长率。但是，由于劳动的增加，每单位个人的资本数量减少，低于原先的 。 　　② 生产函数向下移动会导致 下降。临时修改的形式为并且下降。此时： 　　分析和①类似，可以直接从表达式看出。每单位有效劳动的要素收入同样不依赖于。 　　③ 上升对 的影响需要分类讨论。这里的还原为。 　　对方程（※）两端求的偏导，得到： 　　其中： 　　得到： 若 ，上升意味着 向上移动若 ，上升意味着 向下移动 　　最终在 的右边，新的和旧的 函数相交 　　（完）戴维·罗默. 高级宏观经济学(第3版)[M].王根倍,译.上海:上海财经大学出版社,2009. 　　（完）　　本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布不知为何表格代码没转码成功，凑合着看吧~即索洛模型，见经济增长模型即Ramsey-Cass-Koopmans模型，将储蓄率视为内生纳入至经济增长模型框架内，见无限期界模型即戴蒙德（经济增长）模型效用相对风险厌恶系数不变生产充分竞争、无外部性储蓄率是内生的资本存在折旧由于生命有限，并不要求折现率人口寿命为2期，1期参与生产，工资在消费和储蓄间分配；2期不参与生产，储蓄及其收益全部用于消费初始资本均由2期人口所有故而t期出生的单位有效劳动总效用为 　　求解最大化问题可得，效用最大化一阶条件为 　　进而易得，储蓄率为 　　实际利率对储蓄率的影响可以分解为反向的两种效应：①替代效应：利率升高使得以二期消费代替一期消费变更更有吸引力，使得储蓄率升高；②利率升高使得同样的二期消费所需的储蓄更低，使得储蓄率降低；当时，过多增加二期消费能够带来的增量效用递减较快（图为theta=1.44），收入效应主导 　　avatar 　　当，则反之（图为theta=0.24） 　　avatar 　　k的运动方程从上式易推得 　　不同的生产函数与theta可能带来不同的动态学特征下图展现了不同生产函数和theta值下可能存在的k动态学特征，其中标黄的焦点为潜在的稳定点，即黄金律下的k并不是所有情形下都存在稳定点，同时如果存在并不稳定由决定时，此时k的演化路径还与多数人的预期有关 　　avatar 　　同样采用1阶泰勒展开预估，收敛速度有：，即付给资本的收入份额占比，每期移动的份额收敛至处。世代交叠模型下，各代个体之间分别决策，达到的均衡不等于帕累托均衡；而是会存在跨期结构带来的动态无效率（可以通过证明状态下，存在平衡增长黄金律资本水平）验证是否动态有效的方法一般情形下：真实报酬率 小于经济增长率：前者可采用短期政府债券真实利率等，此时其小于黄金律水平的利率，资本进行了过度的积累，存在动态无效率净资本边际产出（即单位资本扣除折旧后的边际产出，类似 ）如小于经济增长率：动态无效率（同上） 　　不确定条件下：净资本收入>投资：生产更多产出而获得可利用的金资源大于其用于新投资的资源，故而为动态有效率的Abel等用(国民收入-雇员薪酬-自我雇佣应计收入)替代资本收入，用国民收入账户中的投资作为投资额，进行比较，发现分散型经济产生动态无效率的结果在实践中并未普遍出现。 　　动态无效率的可能存在解释了政府在分散决策经济系统中可以扮演的作用。模型也可以探讨政府财政收入与支出对模型的影响考虑财政时政府采购永久性增加：政府采购的增加来自于1期的收入，故而其降低了人们的1期储蓄，使得均衡资本水平降低，实际利率升高（此处考虑的是一一对应且仅有一个均衡点的情形）暂时性增加：同上，不过为逐步演变。

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